УДК 517.3


ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО КОММУТАНТА ДЛЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ


Балабанова В.В.1, Ткаченко И.Г.1, Величко И.Г.2

1Запорожский национальный университет,

г. Запорожье, Украина,

2Таврический государственный агротехнологический университет, г. Мелитополь, Украина


Функцию назовем дифференциальным коммутантом с весом для функции , если имеет место следующее соотношение:

,                                   (1)

Задача работы: для заданных функций и найти такую функцию , чтобы имело место равенство (1).

Как известно, в общем случае производная произведения равна

,

а тогда левая часть равенства (1) принимает вид:

.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

.

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его решение:

.                                           (2)

Непосредственной подстановкой в равенство (1), можно убедиться, что полученная функция является решением этого уравнения.

Заметим, что в общем виде в случае, если коммутирующий множитель , то равенство (1) принимает вид:

,

то есть производная произведения равна произведению производных от каждого из сомножителей. Это равенство имеет место при условии, что функция определяется равенством (2).

Рассмотрим нахождения функции для конкретных функций и .

Пример 1. Пусть , . Тогда равенство (1) принимает вид:

.                                              (3)

Функция , определяемая равенством (2), равна:

.

То есть равенство (3) принимает вид:

.

Дифференцируя непосредственно левую и правую часть равенства, приходим к тождеству

.

Таким образом, для функции дифференциальным коммутантом является функция .

Пример 2. Построим дифференциальный коммутант для функции и коммутирующего множителя .

В этом случае необходимо доказать равенство

.                                      (4)

Из соотношения (2) находим, что искомый коммутант

.

В результате подстановки найденной функции в (4), получим равенство

,

что доказывает его справедливость.

Пример 3. Аналогично для функций и дифференциальный коммутант (2) равен

.